一次関数 直線の式〈実践例題集〉

xとyの増加量から求める

「変化の割合」を求める
(1,2)、(3,4)より

\(
\large
a=
\frac{(4)\ -\ (2)}{(3)\ -\ (1)}
=\frac{2}{2}=1
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(1,2)を代入

\(
\begin{eqnarray}
2 &=& 1 \times 1+b\\
2 &=& 1+b\\
2-1 &=& b\\
1 &=& b\\
b &=& 1
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(3,4)を代入

\(
\begin{eqnarray}
4 &=& 1 \times 3+b\\
4 &=& 3+b\\
4-3 &=& b\\
1 &=& b\\
b &=& 1
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=x+1\)

連立方程式で求める

「変化の割合」を求める
(1,2)、(3,4)より

\(\cases{2=1a+b \cdots ①\\4=3a+b \cdots ②}\)

\(
\begin{eqnarray}
4 &=& 3a+b\\
-)2 &=& 1a+b\\
\hline
2 &=& 2a\\
1 &=& a\\
\\
a &=& 1
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(1,2)を代入

\(
\begin{eqnarray}
2 &=& 1 \times 1+b\\
2 &=& 1+b\\
2-1 &=& b\\
1 &=& b\\
b &=& 1
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(3,4)を代入

\(
\begin{eqnarray}
4 &=& 1 \times 3+b\\
4 &=& 3+b\\
4-3 &=& b\\
1 &=& b\\
b &=& 1
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=x+1\)

xとyの増加量から求める

「変化の割合」を求める
(-1,-1)、(2,8)より

\(
\begin{eqnarray}
a &=&
\frac{(8)-(-1)}{(2)-(-1)}\\
\\
&=& \frac{8+1}{2+1}
=\frac{9}{3}
=3
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(-1,-1)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-1 &=& 3 \times (-1)+b\\
-1 &=& -3+b\\
-1+3 &=& b\\
2 &=& b\\
b &=& 2
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(2,8)を代入

\(
\begin{eqnarray}
8&=&3 \times 2+b\\
8&=&6+b\\
8-6&=&b\\
2&=&b\\
b&=&2
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=3x+2\)

連立方程式で求める

「変化の割合」を求める
(-1,-1)、(2,8)より

\(
\cases{
\begin{eqnarray}
-1 &=&-1a &+& b \cdots ①\\
8 &=& \ 2a &+& b \cdots ②
\end{eqnarray}
}
\)

\(
\begin{eqnarray}
8 &=& \ 2a &+& b \\
-)-1 &=& -1a &+& b\\
\hline
9 &=& 3a\\
3 &=& a\\
\\
a &=& 3
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(-1,-1)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-1 &=& 3 \times (-1)+b\\
-1 &=& -3+b\\
-1+3 &=& b\\
2 &=& b\\
b &=& 2
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(2,8)を代入

\(
\begin{eqnarray}
8&=&3 \times 2+b\\
8&=&6+b\\
8-6&=&b\\
2&=&b\\
b&=&2
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=3x+2\)

xとyの増加量から求める

「変化の割合」を求める
(-2,-8)、(-3,-10)より

\(
\begin{eqnarray}
a &=&
\frac{(-8)\ -\ (-10)}{(-2)\ -\ (-3) \ }\\
\\
&=& \frac{-8+10}{-2+ \ 3 \ }
=\frac{2}{1}
=2
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(-2,-8)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-8&=&2 \times (-2)+b\\
-8&=&-4+b\\
-8+4&=&b\\
-4&=&b\\
b&=&-4
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(-3,-10)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-10&=&2 \times (-3)+b\\
-10&=&-6+b\\
-10+6&=&b\\
-4&=&b\\
b&=&-4
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=2x-4\)

連立方程式で求める

「変化の割合」を求める
(-2,-8)、(-3,-10)より

\(
\cases{
\begin{eqnarray}
-8 &=& -2a &+& b \cdots ①\\
-10 &=& -3a &+& b \cdots ②
\end{eqnarray}
}
\)

\(
\begin{eqnarray}
-8 &=& -2a+b\\
-)-10 &=& -3a+b\\
\hline
2 &=& a\\
\\
a &=& 2
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(-2,-8)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-8&=&2 \times (-2)+b\\
-8&=&-4+b\\
-8+4&=&b\\
-4&=&b\\
b&=&-4
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(-3,-10)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-10&=&2 \times (-3)+b\\
-10&=&-6+b\\
-10+6&=&b\\
-4&=&b\\
b&=&-4
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=2x-4\)

xとyの増加量から求める

「変化の割合」を求める
(2,-5)、(5,-14)より

\(
\begin{eqnarray}
a &=&
\frac{(-14) \ – \ (-5)}{ \ (5)\ \ – \ \ (2) \ }\\
\\
&=& \frac{-14+5}{5 \ – \ 2}
=\frac{-9}{3}
=-3
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に(2,-5)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-5&=&-3 \times 2+b\\
-5&=&-6+b\\
-5+6&=&b\\
1 &=&b\\
b&=&1
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に(5,-14)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-14&=&-3 \times 5+b\\
-14&=&-15+b\\
-14+15&=&b\\
1&=&b\\
b&=&1
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=-3x+1\)

連立方程式で求める

「変化の割合」を求める
(2,5)、(5,-14)より

\(
\cases{
\begin{eqnarray}
5 &=& 2a &+& b \cdots ①\\
-14 &=& 5a &+& b \cdots ②
\end{eqnarray}
}
\)

\(
\begin{eqnarray}
-14 &=& 5a+b\\
-)5 &=& 2a+b\\
\hline
-9 &=& 3a\\
-3 &=& a\\
\\
a &=& -3
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める

\(y=ax+b\)に(2,-5)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-5&=&-3 \times 2+b\\
-5&=&-6+b\\
-5+6&=&b\\
1 &=&b\\
b&=&1
\end{eqnarray}
\)

(y=ax+b)に(5,-14)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-14&=&-3 \times 5+b\\
-14&=&-15+b\\
-14+15&=&b\\
1&=&b\\
b&=&1
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=-3x+1\)

xとyの増加量から求める

「変化の割合」を求める
(2,3)、(4,4)より

\(
\begin{eqnarray}
a &=&
\frac{(4)-(3)}{(4)-(2)}
=\frac{1}{2}
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に
\(a=\frac{1}{2}、(2,3)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
3&=&\frac{1}{2} \times 2+b\\
3&=&1+b\\
3-1&=&b\\
2 &=&b\\
b&=&2
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に
\(a=\frac{1}{2}、(4,4)\)を代入
\(
\begin{eqnarray}
4&=&-\frac{1}{2} \times 4+b\\
4&=&2+b\\
4-2&=&b\\
2&=&b\\
b&=&2
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=\frac{1}{2}x+2\)

連立方程式で求める

「変化の割合」を求める
(2,3)、(4,4)より

\(
\cases{
\begin{eqnarray}
3 &=& 2a &+& b \cdots ①\\
4 &=& 4a &+& b \cdots ②
\end{eqnarray}
}
\)

\(
\begin{eqnarray}
4 &=& 4a+b\\
-)3 &=& 2a+b\\
\hline
1 &=& 2a\\
\frac{1}{2} &=& a\\
\\
a &=& \frac{1}{2}
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める
\(y=ax+b\)に
\(a=\frac{1}{2}、(2,3)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
3&=&\frac{1}{2} \times 2+b\\
3&=&1+b\\
3-1&=&b\\
2 &=&b\\
b&=&2
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に
\(a=\frac{1}{2}、(4,4)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
4&=&-\frac{1}{2} \times 4+b\\
4&=&2+b\\
4-2&=&b\\
2&=&b\\
b&=&2
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=\frac{1}{2}x+2\)

xとyの増加量から求める

「変化の割合」を求める
\((3,1)、(6,-1)\)より

\(
\begin{eqnarray}
a =
\frac{(-1)-(1)}{(6)-(3)}
=\frac{-2}{3}
= -\frac{2}{3}
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める

\(y=ax+b\)に
\(a=-\frac{2}{3}、(3,1)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
1&=&-\frac{2}{3} \times 3+b\\
1&=&-2+b\\
1+2&=&b\\
3 &=&b\\
b&=&3
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に
\(a=-\frac{2}{3}、(6,1)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-1&=&-\frac{2}{3} \times 6+b\\
-1&=&-4+b\\
1+4&=&b\\
3&=&b\\
b&=&3
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=-\frac{2}{3}x+3\)

連立方程式で求める

「変化の割合」を求める
\((3,1)、(6,-1)\)より

\(
\cases{
\begin{eqnarray}
1 &=& 3a &+& b \cdots ①\\
-1 &=& 6a &+& b \cdots ②
\end{eqnarray}
}
\)

\(
\begin{eqnarray}
-1 &=& 6a+b\\
-)1 &=& 3a+b\\
\hline
-2 &=& 3a\\
-\frac{2}{3} &=& a\\
\\
a &=& -\frac{2}{3}
\end{eqnarray}
\)

「切片」を求める

\(y=ax+b\)に
\(a=-\frac{2}{3}、(3,1)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
1&=&-\frac{2}{3} \times 3+b\\
1&=&-2+b\\
1+2&=&b\\
3 &=&b\\
b&=&3
\end{eqnarray}
\)

\(y=ax+b\)に
\(a=-\frac{2}{3}、(6,1)\)を代入

\(
\begin{eqnarray}
-1&=&-\frac{2}{3} \times 6+b\\
-1&=&-4+b\\
1+4&=&b\\
3&=&b\\
b&=&3
\end{eqnarray}
\)

答え　\(y=\frac{2}{3}x+3\)